Wiki

Định lý cos

Bài này viết về Định lý cos trong hình học Ecu. Đối với định lý cos trong quang học, xem cos Lambert.

Related Articles

Hình 1 – Một tam giác với các góc α (hoặc A), β (hoặc B), γ (hoặc C) lần lượt đối diện với các cạnh a, b, c.

Trong lượng giác, định lý cos biểu diễn sự liên quan giữa chiều dài của các cạnh của một tam giác phẳng với cosin của góc tương ứng:





c

2


=

a

2


+

b

2



2
a
b
cos

γ



{displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2abcos gamma ,}

Định lý cos Hình 2 – Tam giác tù ABC với đường cao BH

Ứng dụng


Định lý cos Hình 3 – Ứng dụng của định lý cos: tìm cạnh chưa biết và góc chưa biết.

Định lý cos được dùng trong phép đạc tam giác để giải một tam giác hoặc một đường tròn. Ví dụ trong Hình 3, định lý cos được dùng để tìm:

  • cạnh thứ ba của một tam giác nếu đã biết hai cạnh còn lại và góc giữa chúng:




c
=



a

2


+

b

2



2
a
b
cos

γ



;


{displaystyle ,c={sqrt {a^{2}+b^{2}-2abcos gamma }},;}

Định lý cos Hình 4 – Tam giác nhọn và đường cao

Hạ đường cao tương ứng với cạnh c như hình 4 ta có




c
=
a
cos

β
+
b
cos

α

.


{displaystyle c=acos beta +bcos alpha ,.}

Định lý cos Hình 5 – Tam giác tù ABC với đường cao BH

Trường hợp tam giác tù. Euclid chứng minh đinh lý bằng cách áp dụng Định lý Pytago cho hai tam giác vuông trong Hình 5. Đặt CH = dBH = h, trong tam giác AHB ta có





c

2


=
(
b
+
d

)

2


+

h

2


,



{displaystyle c^{2}=(b+d)^{2}+h^{2},,}

Định lý cos Hình 6 – Chứng minh bằng lượng giác trong trường hợp tam giác nhọn

Cách khác trong trường hợp tam giác nhọn. Dựa vào Hình 6 ta có:









c

2






=
(
b

a
cos

γ

)

2


+
(
a
sin

γ

)

2









=

b

2



2
a
b
cos

γ
+

a

2



cos

2



γ
+

a

2



sin

2



γ







=

b

2


+

a

2



2
a
b
cos

γ
,






{displaystyle {begin{aligned}c^{2}&{}=(b-acos gamma )^{2}+(asin gamma )^{2}\&{}=b^{2}-2abcos gamma +a^{2}cos ^{2}gamma +a^{2}sin ^{2}gamma \&{}=b^{2}+a^{2}-2abcos gamma ,end{aligned}}}

Định lý cos Chứng minh định lý cos bằng định lý Ptolemy

Vẽ đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Dựng tam giác ABD bằng tam giác ABC với AD = BCBD = AC. Hạ đường cao từ DC, cắt AB lần lượt tại EF. Ta có:









B
F
=
A
E
=
B
C
cos




B
^



=
a
cos




B
^








 


D
C
=
E
F
=
A
B

2
B
F
=
c

2
a
cos




B
^



.






{displaystyle {begin{aligned}&BF=AE=BCcos {hat {B}}=acos {hat {B}}\Rightarrow &DC=EF=AB-2BF=c-2acos {hat {B}}.end{aligned}}}

Áp dụng định lý Ptolemy cho tứ giác nội tiếp ABCD:









A
D
×
B
C
+
A
B
×
D
C
=
A
C
×
B
D





 



a

2


+
c
(
c

2
a
cos




B
^



)
=

b

2







 



a

2


+

c

2



2
a
c
cos




B
^



=

b

2


.






{displaystyle {begin{aligned}&ADtimes BC+ABtimes DC=ACtimes BD\Rightarrow &a^{2}+c(c-2acos {hat {B}})=b^{2}\Rightarrow &a^{2}+c^{2}-2accos {hat {B}}=b^{2}.end{aligned}}}

Trong tam giác cân


Trong tam giác cân, do a = b nsup> + b2 = 2a2 = 2ab}}:





c

2


=
2

a

2


(
1

cos

γ
)
.



{displaystyle c^{2}=2a^{2}(1-cos gamma ).;}

hay




cos

γ
=
1




c

2



2

a

2







{displaystyle cos gamma =1-{frac {c^{2}}{2a^{2}}}}

Sự tương đồng trong hình tứ diện


Cho một tứ diện với α, β, γ, δ là diện tích bốn mặt của tứ diện đó. Ký hiệu các góc nhị diện là










β
γ

^



,




{displaystyle scriptstyle {{widehat {beta gamma }},}}

và tương tự, ta có





α

2


=

β

2


+

γ

2


+

δ

2



2

(

β
γ
cos


(




β
γ

^



)

+
γ
δ
cos


(




γ
δ

^



)

+
δ
β
cos


(




δ
β

^



)


)

.



{displaystyle alpha ^{2}=beta ^{2}+gamma ^{2}+delta ^{2}-2left(beta gamma cos left({widehat {beta gamma }}right)+gamma delta cos left({widehat {gamma delta }}right)+delta beta cos left({widehat {delta beta }}right)right).,}

Định lý cos trong hình học phi Euclid


Bài chi tiết: Định luật cos (cầu) và Định luật cos (hyperbol)

Xem thêm


  • Phép đạc tam giác
  • Định lý sin
  • Định lý tang
  • Định lý cotang
  • Công thức Mollweide
  • Công thức nửa cạnh
  • Đẳng thức lượng giác

Check Also
Close
Back to top button